Soal: Bateh Mejo
Martingale $10 di mejo jo bateh $500. Sabara acok sistem iko ancua, bara karugiannyo katiko ancua, jo apokah manaiakan bateh mambantu?
Anam kakalahan baturuik-turuik mangancuannyo: 1,8% per siklus, kiro-kiro 60% dari sesi 100 putaran. Kaancuran itu babiaya $630. Manaiakan bateh manjadi $5.000 mambuek kaancuran labiah jarang (0,25% per siklus) jo labiah gadang ($5.110). Ekspektasi karugian per dolar nan dipataruahan tetap 2,70% pado bateh bara pun.
Soalnyo
Surang pamain bataruah $10 pado sirahtaruahanSirahTaruahan 1:1 pado 18 angko sirah. Baso Prancis: rouge.Baco salangkoknyo → jo manggandakan taruahan sasudah satiok kakalahan, lalu baliak ka awal sasudah manang. Taruahan maksimum mejo adolah $500. (a) Bara kakalahan baturuik-turuik nan mangancuan progresistrategiProgresiSatiok aturan nan mangubah nilai taruahan badasarkan hasia sabalunnyo. Progresi negatif manaiakannyo sasudah kalah, progresi positif sasudah manang.Baco salangkoknyo → iko? (b) Bara probabilitasnyomatematikaProbabilitasKamungkinan tajadinyo sabuah hasia, dari 0 sampai 1 atau 0% sampai 100%. Ciek angko: 1/37 = 2,70%.Baco salangkoknyo → per siklus? (c) Bara nan ilang katiko ancua? (d) Baa bateh $5.000 mangubah jawabannyo? (e) Apokah ado bateh nan mambuek sistem iko manguntuangan?
Panyalasaian (a)–(c)
Nilai taruahan: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Taruahan katujuah sairuihnyo 640 > 500, jadi anam kakalahan mangancuannyo. (b) p(kalah) = 19/37 pado sirah; (19/37)⁶ = 0,0183, kiro-kiro 1,8% per siklus. Ciek siklus rato-rato balangsuang kiro-kiro duo putaran, jadi sesi 100 putaran barisi kiro-kiro 50 siklus jo p(sakurang-kurangnyo sakali ancua) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, yaitu 63 unitpitihUnitTaruahan dasar nan dipakai sabuah sistem atau surang pamain sabagai satuan. Progresi diuraian dalam unit supayo balaku di mejo ma pun.Baco salangkoknyo → dasar, dibandiangan jo $10 nan sadang dikaja siklus itu.
Panyalasaian (d)
Pado $5.000: nilai taruahan sampai 2.560 diizinan; taruahan kasapuluah, 5.120, ditolak. Sambilan kakalahan mangancuannyo: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per siklus, kiro-kiro 11% dari sesi 100 putaran. Karugian katiko ancua: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Pamain alah mambali bancano nan labiah jarang jo harago bancano nan labiah gadang. Dalam banyak sesi, ekspektasi biaya kaancuran adolah p × karugian ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per siklus pado bateh $500 jo 0,0025 × 5.110 = $12,8 pado $5.000; kaduo angko itu badakek tapi indak samo, jo masiang-masiang adolah ekspektasi karugianmatematikaEkspektasi karugianNilai harapan dikalian jo jumlah total nan dipataruahan; jumlah rato-rato nan ilang salamo ciek sesi atau ciek periode.Baco salangkoknyo → siklus ditambah $10 nan dihasilan siklus-siklus nan manang.
Panyalasaian (e)
Indak. Ekspektasi karugian per siklus = (ekspektasi total nilai taruahan dalam siklus) / 37, pado bateh bara pun, karano satiok taruahan adolah −1/37 dari nilainyo surang. Bateh hanyo manantuan baa karugian itu tabagi antaro banyak kamanangan ketek jo saketek karugian gadang. Tanpa bateh sarato jo modal bamain (bankroll)pitihModal (bankroll)Jumlah total nan disisiahan untuak bamain. Pangalolaan modal baarti mamutuihan bara banyak dari jumlah itu nan dipataruahan per taruahan jo per sesi.Baco salangkoknyo → indak tabateh, progresi iko ka “bahasia”, dalam arti indak pernah ancua, jo juo ka mampataruahan jumlah nan indak tabateh jo ekspektasi karugian 2,70% dari jumlah indak tabateh itu. Bukan bateh mejomejoBateh mejoTaruahan minimum jo maksimum nan diizinkan. Taruahan maksimum inilah nan mamberhentian progresi panggandaan.Baco salangkoknyo → nan mambuek MartingalestrategiMartingaleProgresi nan manggandakan taruahan sasudah satiok kakalahan. Caliak bagian Strategi untuak apo nan dilakukannyo jo apo nan indak.Baco salangkoknyo → indak bahasia. Aritmetikalah panyababnyo.
Duo Mejo Sungguahan
Contoh Thorp adolah mejo $1 jo maksimum $1.000, tampek surang pamain baharok mamanangan $30 untuak makan malam, ciek dolar demi ciek dolar. Nilai taruahan 1, 2, 4 … 512 mamungkinkan sapuluah taruahan, jadi sapuluah kakalahan baturuik-turuik mangancuan progresi iko: sakali dalam 785 siklus pado roda Eropa (sakali dalam 613 pado roda Amerika), jo biaya $1.023. Tigo puluah siklus sadonyo bahasia 96,2% dari wakatu. Sisonyo, 3,8%, kailangan kiro-kiro $1.000, jo rato-rato hasia malam itu adolah −$9,17, pasih 1/37 dari $339 nan rato-rato dipataruahan dalam tigo puluah siklus itu. Mejo $5 jo maksimum $2.000 indak babeda: nilai taruahan sampai $1.280 mamungkinkan sambilan taruahan, jo kaancuran datang sakali dalam 403 siklus pado roda Eropa (sakali dalam 323 pado roda Amerika) jo biaya $2.555.
Pamain Kayo
Agiah progresi iko modal nan gadang sabagai ganti bateh nan randah: 1.000 unit, taruahan dasar ciek unit, jo 1.000 putaran pado sirah, dimulai baliak dari ciek unit satiok kali panggandaan barikuiknyo malabiahi sisa modal. Kami manyimulasian sajuta malam sarupo itu. Pado roda Eropa, 52% baakhia untuang, 21% kailangan sadonyo, jo rato-rato hasianyo −124 unit. Bahkan dalam pamainan tanpa nolrodaNolHanyo ciek-cieknyo kantong hijau, nan indak dicakup dek taruahan 1:1, lusin, maupun kolom; sumber kaunggulan kasino. Juo: nol tunggal, 0.Baco salangkoknyo →, tampek satiok taruahan adia, hanyo kiro-kiro 60% nan ka baakhia untuang. Malam nan biaso baakhia jo kamanangan ketek; rato-ratonyo dibayia dek malam-malam nan baakhia di nol.
Palajarannyo
Kasino manetapan bateh untuak mambateh variansmatematikaVariansUkuran bara laweh hasia taserak di sakitar nilai harapan. Tinggi untuak straight up, randah untuak taruahan 1:1.Baco salangkoknyo → inyo surang, bukan untuak mangalahan sistem. Kakalahan Martingale adolah efek sampiang nan jo sanang hati inyo tarimo, jo aritmetika ka mangalahannyo juo. Pamain nan mangiro bateh mejo adolah masalahnyo alah manamuan tabiangnyo jo mangiro itu lereangnyo.
Rumus
Patanyoan
Modal nan labiah gadang mambuek Sanak bisa batahan sampai bateh nan labiah tinggi, tampek kaancuran labiah jarang jo labiah gadang. Ekspektasi karugian per dolar indak barubah.
Nilai taruahan 10, 30, 70, 150, 310: bateh $500 tacapai sasudah limo kakalahan, jo kaancuran itu babiaya $570. Tetap 2,70%.
Supayo ciek pamain indak bisa bataruah labiah banyak dari nan bisa dibayia jo nyaman dek cadangan kasino. Pangalolaan varians.
Bamain jo Matematika
Cubo karajoan surang dulu. Satiok panyalasaian dilipek; bukak katiko Sanak alah siap.
Sabuah MartingalestrategiMartingaleProgresi nan manggandakan taruahan sasudah satiok kakalahan. Caliak bagian Strategi untuak apo nan dilakukannyo jo apo nan indak.Baco salangkoknyo → mulai dari $100 pado sirahtaruahanSirahTaruahan 1:1 pado 18 angko sirah. Baso Prancis: rouge.Baco salangkoknyo → jo mambuliahan dirinyo paliang banyak n taruahan sasiklus: sasudah n kakalahan baturuik-turuik inyo manyarah jo mulai baliak. Tulih hasia rato-rato ciek siklus sabagai rumus dalam n, jo hituang untuak 5, 6 jo 7 taruahan di roda Eropa.
Tampilan panyalasaian
Jawaban Rato-ratonyo 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 untuak 5 taruahan, −$17,35 untuak 6 jo −$20,52 untuak 7. Mambuliahan labiah banyak taruahan mambuek siklus rato-rato labiah buruak, bukan labiah elok.
Ciek siklus manang $100 kacuali kalau sadonyo n taruahan kalah, nan tajadi jo probabilitas qⁿ, tampek q = 19/37. Kalau sadonyo kalah, nilai taruahan 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ bajumlah 100 × (2ⁿ − 1). Jadi rato-ratonyo 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Di siko 2q = 38/37, saketek labiah dari 1, jadi (2q)ⁿ tumbuah basamo n jo rato-ratonyo turun: n = 5 mambari 1,1426 jo −$14,26; n = 6 mambari 1,1735 jo −$17,35; n = 7 mambari 1,2052 jo −$20,52. Tanggo nan labiah panjang labiah jarang kalah, dalam 3,6%, 1,8% jo 0,9% siklus, tapi satiok kakalahan duo kali labiah gadang, jo labiah banyak pitih balalu di mejo satiok siklus, pado 2,70% dari satiok taruahan.
Di roda Amerika 2q = 40/38 jo angkonyo −$29,24, −$36,04 jo −$43,20 (Taylor, 2021). Dalam pamainan tanpa nolrodaNolHanyo ciek-cieknyo kantong hijau, nan indak dicakup dek taruahan 1:1, lusin, maupun kolom; sumber kaunggulan kasino. Juo: nol tunggal, 0.Baco salangkoknyo → 2q = 1, jo satiok siklus rato-ratonyo pasih nol bara pun panjang tanggonyo.
“Martingale gadang” manggandakan nilai taruahan sasudah kalah jo manambah ciek unitpitihUnitTaruahan dasar nan dipakai sabuah sistem atau surang pamain sabagai satuan. Progresi diuraian dalam unit supayo balaku di mejo ma pun.Baco salangkoknyo →, jadi nilai taruahannyo 1, 3, 7, 15, 31 … Bara Sanak untuang kalau kamanangan partamo datang pado taruahan ka-1, ka-2, ka-3 atau ka-k? Pado unit $10 jo maksimum $500, bara acok siklus patah, jo bara hargo ciek siklus sacaro rato-rato?
Tampilan panyalasaian
Jawaban Kamanangan pado taruahan ka-k mambuek Sanak untuang k unit: +1, +2, +3 jo saterusnyo. Pado $10 jo $500 siklus patah sasudah limo kakalahan, 3,57% siklus, sabanyak −$570. Sacaro rato-rato ciek siklus kailangan $2,32 dari $85,73 nan dipataruahan: 2,70%.
Nilai taruahan ka-k adolah 2ᵏ − 1 unit: 1, 3, 7, 15, 31. k − 1 nilai taruahan partamo bajumlah 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Kamanangan pado taruahan ka-k mambayia 2ᵏ − 1, jadi siklus baakhia (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unit untuang: ciek unit tambahan untuak satiok kakalahan sabalun kamanangan.
Pado $10 sa-unit nilai taruahannyo $10, $30, $70, $150 jo $310; nan barikuiknyo, $630, talampau dari maksimum $500. Limo kakalahan baturuik-turuik, (19/37)⁵ = 3,57%, mamakan 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Rato-rato: kamanangan mambaok masuak $10 × k jo probabilitas (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 untuak k = 1 sampai 5, jo patahnyo siklus maambiak $570 jo probabilitas 3,57%; basamo −$2,32. Pitih nan dipataruahan rato-rato $85,73 sasiklus, jo 2,32/85,73 = 2,70%. Martingale biaso di mejo nan samo patah sasudah anam kakalahan, 1,83% siklus, sabanyak −$630, jo kailangan $1,74 dari $64,20 nan dipataruahan: 2,70% baliak.
Surang pamain marancanakan Martingale pado sirah jo taruahan partamo $1 di mejo nan batehnyo $1.000, jadi sapuluah taruahan mungkin: $1, $2, $4 jo saterusnyo sampai $512. Bara acok ciek siklus kalah kasadonyo sapuluah, bara lamo itu rato-rato, jo bara acok malam jo 200 taruahan baakhia sarupo itu?
Tampilan panyalasaian
Jawaban Ciek siklus kalah kasadonyo sapuluah kiro-kiro sakali dalam 784, nan mamakan $1.023. Itu rato-rato kiro-kiro 1.600 taruahan, jo malam jo 200 taruahan manabrak dindiang kiro-kiro 11% dari wakatu. Ciek siklus tatap kailangan rato-rato $0,31 dari $11,31 nan dipataruahan: 2,70%.
Taruahan pado sirah kalah jo probabilitas 19/37, nol tamasuak. Sapuluah baturuik-turuik: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, kiro-kiro 1 dari 784. Nilai taruahan 1 + 2 + 4 + … + 512 bajumlah $1.023.
Ciek siklus rato-rato mambutuahan 2,05 taruahan, jadi 784 siklus mambutuahan kiro-kiro 1.600 taruahan. Dihituang putaran demi putaran, rentetan sapuluah kakalahan muncua di suatu tampek dalam 200 taruahan 11,3% dari wakatu.
Di antaro bancano, pamain manang $1 sasiklus: kiro-kiro $783 sabalun nan buruak datang, lalu −$1.023, kiro-kiro −$240 salamo saluruah jangko itu. Tiok siklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Pitih nan dipataruahan tiok siklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Jo −0,31/11,31 = −2,70%.
Bandiangan jo taruahan partamo $10 pado bateh $500, anam taruahan: dindiang datang sakali dalam 55 siklus, jo malam jo 200 taruahan manabraknyo 84% dari wakatu. Bateh nan labiah tinggi mambuek karuntuahan labiah jarang jo labiah gadang, bukan labiah murah.
Salingan lucu
Labiah jarang jo labiah gadang, pado bateh bara pun. Hasia kalinyo tetap.
Sumber
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.